Laufzeitverlängerung

Wie zur Frequenzänderung lässt sich aus der Allgemeinen Relativitätstheorie auch ein zusätzlicher Beitrag zur Laufzeit eines Signals ableiten. Die gesamte Laufzeit einer elektromagnetischen Welle setzt sich neben der bekannten klassischen, die sich aus Wegstrecke dividiert durch Ausbreitungsgeschwindigkeit ergibt, auch aus einem Beitrag zusammen, der durch das Schwerefeld der Sonne verursacht wird.

Als Ausgangspunkt zur Berechnung der gesamte Laufzeit dient die zentralsymmetrische statische Metrik [10, 10.82] unter Berücksichtigung nur linearer Terme:

Eq.56

mit:

Die Größe m entspricht hierbei der Hälfte des Schwarzschildradius der Sonne. Das sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitende EM-Signal bewegt sich nach der speziellen Relativitätstheorie auf dem Lichtkegel im Raum-Zeitdiagramm, somit folgt ds2 = 0.

Es lässt sich demnach schreiben:

Eq.57

Um Eq.57 zu vereinfachen, wird die linke Wurzel in einer Reihe entwickelt, so dass Terme höherer Ordnung für r>>m vernachlässigbar werden:

Es vereinfacht sich Eq.57 demnach zu:

Eq.58

Als Ansatz wird eine geradlinige Signalbahn angenommen, die sich aus den Koordinaten von Sender (1) und Empfänger (2) zu:

mit Eq.59 a

mit Eq.59 b

ergibt [vergl. 10 S.314]. Diesen Ansatz in Eq.58 eingesetzt, folgt:

Eq.60

Nach anschließender Integration erhält man:

mit und

Eq.61

Hierbei folgt>aus dem Abstand des Senders vom Sonnenmittelpunkt,ergibt sich aus der Entfernung des Empfängers von der Sonne und ist durch die Distanz von Sender und Empfänger zueinander gegeben.